恒定乘积自动做市商 (CPAMM) 学习笔记

恒定乘积自动做市商 (CPAMM) 学习笔记

核心摘要 (Key Takeaways)

• CPAMM 核心公式：$X \times Y = K$ 是恒定乘积自动做市商（Constant Product Automated Market Maker, CPAMM）的核心，它定义了去中心化交易所（DEX）中流动性池中两种资产数量的关系。
• DEFI 基石：该公式是 2020-2021 年 DEFI 浪潮的起点，支撑了数百亿美元的 DEFI 市值发展，实现了无需中心化对手方的代币交换。
• 交换中的 K 值恒定：在用户进行代币买卖（Swap）时，池子的总流动性 $K$ 保持不变，但池中两种代币的比例会根据交易量动态调整。
• 滑点 (Slippage)：交易量相对于池子总流动性的比例越大，交易产生的滑点就越大，导致实际成交价格偏离预期市场价格。用户在交易时可设置滑点容忍度。
• 流动性提供者 (LP)：用户可以通过向池子提供两种代币，成为流动性提供者，获得 LP 凭证 (LPT) 并赚取交易手续费；添加和移除流动性会改变 $K$ 值。

1. 恒定乘积自动做市商 (CPAMM) 核心原理

1.1 定义与核心公式

• 名称：恒定乘积自动做市商 (Constant Product Automated Market Maker, CPAMM)，简称 AMM 或 CPMM。
• 核心公式： $X \times Y = K$
  • X：池中 token0 的数量。
  • Y：池中 token1 的数量。
  • K：池子的总流动性 (Liquidity)。在用户进行代币交换（Swap）时，K 值保持恒定。
• 数学图像：如果将公式表示为 $Y = K/X$，其在坐标系中呈现为一条双曲线。在这条曲线上的任何点，X 和 Y 的乘积都等于 K。
• 对比：与恒定乘积 AMM 相对，还有理论上的恒定和自动做市商 (Constant Sum AMM)，其公式为 $X + Y = K$。但这种模型在实际中几乎不被使用，因为它无法在不耗尽其中一种资产的情况下支持无限交易。

1.2 DEFI 中的重要性

• CPAMM 公式是 Uniswap 等去中心化交易所（DEX）的核心机制，直接推动了 DEFI 市场的爆发式增长，实现了无需传统订单簿的自动化做市。

1.3 交易机制

CPAMM 允许用户在没有中心化对手方的情况下进行代币交换。其基本逻辑是：当一种代币进入池子，另一种代币就会流出池子，以维持 $X \times Y = K$ 的恒定乘积。

• 用户卖出 token0 (买入 token1)：
  • 用户将 $\Delta X$ 数量的 token0 卖给池子。
  • 池中 token0 数量增加：$X \rightarrow X + \Delta X$。
  • 为了保持 $K$ 值不变，池中 token1 数量必须减少：$Y \rightarrow Y - \Delta Y$。
  • 公式变为：$(X + \Delta X) \times (Y - \Delta Y) = K$
• 用户买入 token0 (卖出 token1)：
  • 用户从池子中买入 $\Delta X$ 数量的 token0。
  • 池中 token0 数量减少：$X \rightarrow X - \Delta X$。
  • 为了保持 $K$ 值不变，池中 token1 数量必须增加：$Y \rightarrow Y + \Delta Y$。
  • 公式变为：$(X - \Delta X) \times (Y + \Delta Y) = K$

2. 案例展示与计算

以下案例均基于一个初始的 ETH/USDT 交易对池：

• ETH (X) = 10 个
• USDT (Y) = 20,000 个
• 初始流动性 (K) = $10 \times 20,000 = 200,000$

2.1 场景一：用户卖出 5 ETH (买入 USDT)

• 操作：用户向池子卖出 5 ETH。
• 池子变化：
  • ETH 数量变为：$10 + 5 = 15$
  • USDT 数量变为：$20,000 - \Delta Y$
• 计算 $\Delta Y$： $(10 + 5) \times (20,000 - \Delta Y) = 200,000$ $15 \times (20,000 - \Delta Y) = 200,000$ $20,000 - \Delta Y = \frac{200,000}{15} \approx 13333.33$ $\Delta Y = 20,000 - 13333.33 = 6666.67$
• 结果：用户卖出 5 ETH，可以获得 6666.67 USDT。

2.2 场景二：用户持有 10,000 USDT 买入 ETH

• 操作：用户向池子卖出 10,000 USDT，买入 ETH。
• 池子变化：
  • USDT 数量变为：$20,000 + 10,000 = 30,000$
  • ETH 数量变为：$10 - \Delta X$
• 计算 $\Delta X$： $(10 - \Delta X) \times (20,000 + 10,000) = 200,000$ $(10 - \Delta X) \times 30,000 = 200,000$ $10 - \Delta X = \frac{200,000}{30,000} \approx 6.67$ $\Delta X = 10 - 6.67 = 3.33$
• 结果：用户用 10,000 USDT，可以买入 3.33 ETH。

2.3 场景三：极端情况 - 用户卖出 100,000 ETH

• 操作：用户向池子卖出 100,000 ETH (远超池中 ETH 数量)。
• 池子变化：
  • ETH 数量变为：$10 + 100,000 = 100,010$
  • USDT 数量变为：$20,000 - \Delta Y$
• 计算 $\Delta Y$： $(10 + 100,000) \times (20,000 - \Delta Y) = 200,000$ $100,010 \times (20,000 - \Delta Y) = 200,000$ $20,000 - \Delta Y = \frac{200,000}{100,010} \approx 1.9998$ $\Delta Y = 20,000 - 1.9998 = 19998.0002$
• 结果：用户卖出 100,000 ETH，可以获得约 19998 USDT。
• 分析：即使交易量远超池中现有资产，CPAMM 理论上也能完成交易。池子中的 USDT 会被几乎掏空，但永远不会完全为零，会无限接近于零。这表明 CPAMM 曲线可以支撑代币在任何价格上的买卖。

2.4 场景四：小额交易 - 用户卖出 0.01 ETH

• 操作：用户向池子卖出 0.01 ETH。
• 池子变化：
  • ETH 数量变为：$10 + 0.01 = 10.01$
  • USDT 数量变为：$20,000 - \Delta Y$
• 计算 $\Delta Y$： $(10 + 0.01) \times (20,000 - \Delta Y) = 200,000$ $10.01 \times (20,000 - \Delta Y) = 200,000$ $20,000 - \Delta Y = \frac{200,000}{10.01} \approx 19980.01998$ $\Delta Y = 20,000 - 19980.01998 \approx 19.98$
• 结果：用户卖出 0.01 ETH，可以获得约 19.98 USDT。
• 分析：小额交易对池子影响小，执行价格会非常接近市场价。

3. 价格与滑点 (Slippage)

3.1 价格决定机制

• 市场供需：CPAMM 池中代币的价格由市场供需关系自动决定。
• 套利机器人：如果池内价格与外部市场价格出现差异，套利机器人会迅速介入，通过在价格较低的池子买入并在价格较高的市场卖出，从而将池内价格“搬平”，使其与市场价保持一致。

3.2 即时价格 (Spot Price)

• 定义：池中两种 token 数量的比值，代表当前池子的理论价格。
• 公式：
  • $P_{token0} = Y/X$
  • $P_{token1} = X/Y$
• 初始价格计算 (基于初始池子)： $P_{ETH} = \frac{20,000 \text{ USDT}}{10 \text{ ETH}} = 2000 \text{ USDT/ETH}$ $P_{USDT} = \frac{10 \text{ ETH}}{20,000 \text{ USDT}} = 0.0005 \text{ ETH/USDT}$

3.3 滑点 (Slippage)

• 定义：衡量实际成交价格与预期市场价格之间的差异。在 DEX 中，由于交易会改变池中代币的比例，大额交易会导致价格显著偏离即时价格。
• 公式： $Slippage = \frac{\text{Execution Price} - \text{Expected Price}}{\text{Expected Price}} \times 100\%$
  • Execution Price (执行价格)：实际成交的单价。
  • Expected Price (预期价格)：交易发生前的即时价格 (Spot Price)。
• 滑点容忍度 (Slippage Tolerance)：用户在进行交易时可以设置的最大可接受滑点百分比。如果实际滑点超过此容忍度，交易将失败。
• 案例滑点计算：
  • 场景一 (卖出 5 ETH)：
    • 预期价格：2000 USDT/ETH
    • 执行价格：$\frac{6666.67 \text{ USDT}}{5 \text{ ETH}} = 1333.33 \text{ USDT/ETH}$
    • 滑点：$\frac{1333.33 - 2000}{2000} \times 100\% = -33.33\%$ (用户实际卖出价格远低于预期)
  • 场景二 (买入 3.33 ETH)：
    • 预期价格：2000 USDT/ETH
    • 执行价格：$\frac{10000 \text{ USDT}}{3.33 \text{ ETH}} = 3003 \text{ USDT/ETH}$
    • 滑点：$\frac{3003 - 2000}{2000} \times 100\% = 50.15\%$ (用户实际买入价格远高于预期)
  • 场景三 (卖出 100,000 ETH)：
    • 预期价格：2000 USDT/ETH
    • 执行价格：$\frac{19998 \text{ USDT}}{100000 \text{ ETH}} = 0.2 \text{ USDT/ETH}$
    • 滑点：$\frac{0.2 - 2000}{2000} \times 100\% \approx -99.99\%$ (极端亏损)
  • 场景四 (卖出 0.01 ETH)：
    • 预期价格：2000 USDT/ETH
    • 执行价格：$\frac{19.98 \text{ USDT}}{0.01 \text{ ETH}} = 1998 \text{ USDT/ETH}$
    • 滑点：$\frac{1998 - 2000}{2000} \times 100\% = -0.1\%$ (滑点很小，接近市场价)

3.4 滑点影响因素与池子深度

• 交易量比例：交易量占池子总流动性的比例越大，产生的滑点越大。
• 池子深度 (Liquidity Depth)：
  • 定义：衡量池子中总流动性的大小。K 值（或 L 值）越大，池子越深。
  • 影响：池子越深，对于相同交易量的冲击（Price Impact）越小，交易产生的滑点也越小。
  • 大户交易：大额交易者需要寻找深度足够的流动性池，以确保交易以接近市场价的价格成交，减少磨损。

4. 流动性与提供者

4.1 流动性 (Liquidity)

• K 值：直接表示 $X \times Y$ 的乘积，可以用来衡量流动性的大小。
• L 值：在实际应用中，为了保持量纲一致性（例如，如果 X 和 Y 都是 token 数量，K 的量纲是 token 数量的平方），通常使用 $L = \sqrt{X \times Y}$ 来表示流动性。L 值与 K 值同样可以衡量池子的深浅。

4.2 流动性提供者 (Liquidity Provider, LP)

• 定义：向交易池提供两种代币资产以增加流动性的用户。
• 动机：通过提供流动性，LP 可以赚取该池子中所有交易产生的手续费。
• 行业术语：
  • “做 LP”：指提供流动性。
  • “LP 赚了很多钱”：指通过提供流动性赚取了手续费。

4.3 LP 凭证 (Liquidity Provider Token, LPT)

• 定义：LP 提供流动性后，会收到一个代表其在池中份额的凭证代币。
• 作用：LPT 证明了 LP 对池子的所有权，可以用来赎回其提供的流动性及赚取的手续费。
• 协议标准：
  • Uniswap V2：LPT 通常是 ERC-20 协议代币。
  • Uniswap V3：LPT 是 ERC-721 协议的 NFT，因为 V3 引入了集中流动性，每个 LP 头寸都是独特的。

5. 添加与移除流动性

5.1 添加流动性 (Add Liquidity)

• 原则：LP 在添加流动性时，必须按照当前池中两种代币的市场价格比例（即 $X:Y$ 比例）进行添加。
  • 公式：$\frac{X_{new}}{Y_{new}} = \frac{X_{old}}{Y_{old}}$即 $\frac{X + \Delta X}{Y + \Delta Y} = \frac{X}{Y}$
  • 原因：如果 LP 不按比例添加，会直接改变池子的价格，并立即被套利机器人“搬平”，导致 LP 承担损失。
• 初始流动性：
  • 对于一个新发行的代币，项目方首次在 DEX 上线并提供流动性时，这被称为添加初始流动性。
  • 初始流动性决定了该代币的初始发行价格（或开盘价）。
• K 值变化：添加流动性时，池中的 $X$ 和 $Y$ 都会增加，因此 K 值会增加 ($K_{new} > K_{old}$)。

5.2 移除流动性 (Remove Liquidity)

• 原则：LP 在移除流动性时，也是按照移除时池子的当前比例进行移除。
  • 公式：$\frac{X_{removed}}{Y_{removed}} = \frac{X_{current}}{Y_{current}}$。
• 重要性：由于市场交易可能导致池中 $X:Y$ 的比例发生变化，LP 移除流动性时获得的两种代币数量，很可能与最初添加时的数量不一致。
  • 例子：如果 LP 在 ETH 价格为 2000 USDT/ETH 时添加了 5 ETH 和 10,000 USDT，但之后 ETH 价格上涨，池中 ETH 变少，USDT 变多，LP 移除时可能会获得少于 5 ETH 但多于 10,000 USDT 的资产。
• 撤底池 (Rug Pull)：
  • 定义：项目方将所有初始提供的流动性全部移除。
  • 含义：通常意味着项目方“跑路”，导致代币失去流动性，价格暴跌。
• K 值变化：移除流动性时，池中的 $X$ 和 $Y$ 都会减少，因此 K 值会减少 ($K_{new} < K_{old}$)。

6. AMM 交易流程 (Mermaid Diagram)

graph TD
    A[用户发起交易请求] --> B{选择交易对和数量};
    B --> C{计算预期价格和滑点};
    C --> D{用户确认交易};
    D -- (X * Y = K) --> E[更新池子中Token数量];
    E --> F[计算实际成交价格];
    F --> G{用户收到Token};
    G --> H[套利机器人监测价格差异];
    H -- (若存在套利机会) --> I[套利机器人执行交易];
    I --> E;

graph TD
    A[用户发起交易请求] --> B{选择交易对和数量};
    B --> C{计算预期价格和滑点};
    C --> D{用户确认交易};
    D -- (X * Y = K) --> E[更新池子中Token数量];
    E --> F[计算实际成交价格];
    F --> G{用户收到Token};
    G --> H[套利机器人监测价格差异];
    H -- (若存在套利机会) --> I[套利机器人执行交易];
    I --> E;

graph TD
    A[用户发起交易请求] --> B{选择交易对和数量};
    B --> C{计算预期价格和滑点};
    C --> D{用户确认交易};
    D -- (X * Y = K) --> E[更新池子中Token数量];
    E --> F[计算实际成交价格];
    F --> G{用户收到Token};
    G --> H[套利机器人监测价格差异];
    H -- (若存在套利机会) --> I[套利机器人执行交易];
    I --> E;

流程解释：

1. 用户发起交易请求：用户决定要交换的代币对（例如 ETH/USDT）和数量。
2. 计算预期价格和滑点：AMM 根据当前池中代币的比例计算理论上的预期价格，并预估此次交易可能产生的滑点。用户在此阶段会看到预估的滑点，并可以设置滑点容忍度。
3. 用户确认交易：用户审查预期价格和滑点后，决定是否执行交易。
4. 更新池子中 Token 数量：一旦交易确认，AMM 会根据核心公式 $X \times Y = K$ 来调整池中两种代币的数量。例如，用户卖出 ETH，池中 ETH 增加，USDT 减少。
5. 计算实际成交价格：根据更新后的池子状态，确定最终的成交价格。
6. 用户收到 Token：用户收到其购买的代币。
7. 套利机器人监测价格差异：在整个过程中，套利机器人持续监控 AMM 池内的价格与外部市场价格。
8. 套利机器人执行交易：如果 AMM 价格与外部市场价格存在差异，套利机器人会立即执行交易，在价格较低的地方买入，在价格较高的地方卖出，从而赚取利润。
9. 更新池子中 Token 数量 (通过套利)：套利交易也会导致池中代币数量更新，这有助于将 AMM 池的价格重新校准到与外部市场一致。

7. 总结

• CPAMM 核心：$X \times Y = K$ 是其基石，实现了去中心化环境下的自动化做市。
• K 值动态：
  • 在代币交换 (Swap) 过程中，K 值保持恒定。
  • 在添加流动性和移除流动性时，K 值会发生变化（增加或减少）。
• 滑点关键：交易量占池子总流动性的比例是影响滑点大小的关键因素。交易量越大，池子越浅，滑点越大。用户可以通过设置滑点容忍度来控制交易风险。
• 流动性提供者：LP 通过提供流动性来赚取手续费，但需注意无常损失和移除流动性时资产比例可能变化的问题。