13.Uniswap V3 单价格区间内 Swap 机制

Uniswap V3：单价格区间内 Swap 机制与数学实现

核心摘要 (Key Takeaways)

• 两步核心算法：在 Uniswap V3 的单个价格区间内执行 swap 的核心逻辑分为两步：首先，根据输入的代币数量和当前流动性，计算出交易完成后的新价格；然后，利用新旧两个价格点和流动性，计算出可以兑换出的输出代币数量。
• 基石数学关系：所有计算都基于 流动性 (L)、代币 X 数量、代币 Y 数量 和 价格 (P) 之间的恒定关系。具体来说，$X = L / \sqrt{P}$ 和 $Y = L \cdot \sqrt{P}$ 是推导所有 swap 公式的基石。
• 价格方向决定公式形态：无论是用 Y 买 X（价格上升）还是用 X 卖 Y（价格下降），其底层的数学原理是统一的。公式的具体形态（谁减谁）取决于价格的高低（$P_{upper}$ vs $P_{lower}$），最终可以抽象为统一的表达式。

1. 基础回顾：价格、Tick 与流动性

在深入 swap 逻辑之前，我们首先要回顾 Uniswap V3 的基本概念。协议通过 Tick 来离散化价格，并将 Tick 转换为实际计算中使用的 $\sqrt{P}$ (square root price)。在一个给定的价格点 P，流动性 L 与两种代币（X 和 Y）的数量关系如下：

• 代币 X 的数量: $X = \frac{L}{\sqrt{P}}$
• 代币 Y 的数量: $Y = L \cdot \sqrt{P}$

2. 单价格区间内 Swap 的数学推导

当一次 swap 发生在两个价格点 $P_0$ (起始价格) 和 $P_1$ (结束价格) 之间时，我们可以计算出这期间代币数量的变化量 $\Delta X$ 和 $\Delta Y$。

• 起始状态 ($P_0$):
  • $X_0 = L / \sqrt{P_0}$
  • $Y_0 = L \cdot \sqrt{P_0}$
• 结束状态 ($P_1$):
  • $X_1 = L / \sqrt{P_1}$
  • $Y_1 = L \cdot \sqrt{P_1}$

因此，代币数量的变化量为（此处假设价格上升，即 $P_1 > P_0$）：

• $\Delta X$ (代币 X 的变化量): $\Delta X = X_0 - X_1 = L \left( \frac{1}{\sqrt{P_0}} - \frac{1}{\sqrt{P_1}} \right)$
• $\Delta Y$ (代币 Y 的变化量): $\Delta Y = Y_1 - Y_0 = L \left( \sqrt{P_1} - \sqrt{P_0} \right)$

关键点：这个推导逻辑与计算整个价格区间（从 $P_A$ 到 $P_B$）的代币总量逻辑完全一致，只是价格的起点和终点不同。

3. 场景一：使用 USDC 购买 ETH (已知 \Delta Y)

这是 swap 的一个典型场景：我们知道要支付多少代币 Y (USDC)，需要计算能收到多少代币 X (ETH)。

计算逻辑

1. 第一步：计算新价格 $P_1$

   • 我们已知：输入的 $\Delta Y$ (USDC 数量)、当前的流动性 L、以及当前价格 $P_0$。
   • 目标：求解交易后的新价格 $P_1$。
   • 通过变换 $\Delta Y$ 的公式，我们可以得到： $\sqrt{P_1} = \frac{\Delta Y}{L} + \sqrt{P_0}$

2. 第二步：计算可获得的 $\Delta X$

   • 现在我们已知：L、$P_0$ 和刚刚计算出的 $P_1$。
   • 目标：求解可以兑换出的 $\Delta X$ (ETH 数量)。
   • 将已知值代入 $\Delta X$ 的公式即可： $\Delta X = L \left( \frac{1}{\sqrt{P_0}} - \frac{1}{\sqrt{P_1}} \right)$

案例：使用 42 USDC 购买 ETH

• **初始条件:

  • 交易对：ETH/USDC
  • 当前价格 $P_0 = 5000$
  • 流动性提供范围：$P_A = 4545$ 到 $P_B = 5500$
  • 提供的流动性：1 ETH 和 5000 USDC
  • 输入 $\Delta Y = 42$ USDC

• 计算过程与结果:

  1. 计算新价格：执行 swap 后，由于是购买 ETH，价格会上升。计算出的新价格 $P_1 = 5003.9$。
  2. 计算ETH数量：将 $P_0=5000$ 和 $P_1=5003.9$ 代入 $\Delta X$ 公式，最终得到可购买到 0.00839 个 ETH。

4. 场景二：卖出 ETH 换取 USDC (已知 \Delta X)

这是 swap 的反向场景：我们知道要卖出多少代币 X (ETH)，需要计算能得到多少代币 Y (USDC)。

计算逻辑

1. 第一步：计算新价格 $P_2$

   • 我们已知：输入的 $\Delta X$ (ETH 数量)、当前的流动性 L、以及当前价格 $P_0$。
   • 目标：求解交易后的新价格 $P_2$ (卖出ETH，价格会下降，所以 $P_2 < P_0$)。
   • 通过变换 $\Delta X$ 的公式，我们可以推导出 $P_2$ 的计算公式： $\sqrt{P_2} = \frac{1}{\frac{\Delta X}{L} + \frac{1}{\sqrt{P_0}}} = \frac{\sqrt{P_0} \cdot L}{\Delta X \cdot \sqrt{P_0} + L}$

2. 第二步：计算可获得的 $\Delta Y$

   • 现在我们已知：L、$P_0$ 和刚刚计算出的 $P_2$。
   • 目标：求解可以兑换出的 $\Delta Y$ (USDC 数量)。
   • 将已知值代入 $\Delta Y$ 的公式（注意价格高低顺序）： $\Delta Y = L \left( \sqrt{P_0} - \sqrt{P_2} \right)$

案例：卖出 0.01337 ETH

• 初始条件: (同上)

  • 当前价格 $P_0 = 5000$
  • 流动性 L (已知)
  • 输入 $\Delta X = 0.01337$ ETH

• 计算过程与结果:

  1. 计算新价格：执行 swap 后，由于是卖出 ETH，价格会下降（砸盘）。计算出的新价格 $P_2 = 4993.77$。
  2. 计算USDC数量：将 $P_0=5000$ 和 $P_2=4993.77$ 代入 $\Delta Y$ 公式，最终得到可获得 66.80 个 USDC。

5. 统一公式

统一公式

无论价格是上升还是下降，swap 的数学本质是相通的。我们可以将公式抽象成一个统一的形式，用 $P_{upper}$ (较高的价格) 和 $P_{lower}$ (较低的价格) 来表示：

• $\Delta X$ (总是正数): $\Delta X = L \left( \frac{1}{\sqrt{P_{lower}}} - \frac{1}{\sqrt{P_{upper}}} \right)$
• $\Delta Y$ (总是正数): $\Delta Y = L \left( \sqrt{P_{upper}} - \sqrt{P_{lower}} \right)$

这个统一的视角揭示了 Uniswap V3 swap 的核心：在一段价格区间内的移动，本质上是在消耗一边的虚拟资产，同时补充另一边的虚拟资产，而这一切都由恒定的流动性 L 锚定。